薛艳霞在敦煌。受访者提供

日本大阪武田科学振兴财团杏雨书屋所藏敦煌算学文献，编号羽037R。

       “敦”，大也，“煌”，盛也，大而盛者谓之敦煌。

       敦煌遗书内容包罗万象，是我国古代社会生活的“百科全书”，被称为“学术的海洋”。

       敦煌算学是迄今发现最早的纸质算学史料，用数字反映了我国古代教育、军事、田制、人口等多个方面的内容，价值不可小觑，已引起学者越来越多的关注。

1.敦煌遗书 算术结晶

       关于敦煌遗书被发现的故事，我们并不陌生。

       1900年6月22日，一个名叫王圆箓的道士，带人在敦煌莫高窟第16窟清理流沙时，在该窟甬道壁画北侧发现了一个一丈见方、六尺多高的复洞，后被称为藏经洞。

       洞内重重叠叠堆满了从公元4世纪到11世纪初的经卷和文书。这就是很快震惊世界文化学术界的“敦煌遗书”。其数以万计的中国古代文物宝藏被发现，伴随其后的是一门国际性的“显学”——敦煌学的产生。

       敦煌算学，是敦煌学海洋中一颗小小的珍珠，是中国算术史的一部分，用数字记载了我国古代社会生活的多个方面，展现了古人的“数字化”生活场景。 我国古代把数学叫算术，又称算学，“算”是计算，“术”是方法。

       中国古代数学体系的形成以汉代《九章算术》的出现为重要标志。

       现为高中老师的薛艳霞在读硕士研究生期间，把大部分精力用在了敦煌算学的研究上。她跟着导师、西北师范大学敦煌学研究所副所长刘再聪教授，赴敦煌亲身查找，到各大图书馆查阅资料，研究敦煌算学反映的社会现实及历史价值。

       “敦煌算学文献是迄今发现最早的纸质算学史料，包括数学、教育、历史等多方面内容，对了解中国古代社会具有重要的意义。” 薛艳霞说，敦煌算学所见的文献并不多，她和导师、学长到处搜集，得知已公布的文献共21件。

       由于众所周知的原因，这些文献目前散藏于世界各地。英国藏有《算经（均田法第一）》、《算经》、《九九歌诀》、《九九乘法歌诀》、《失名算经》、《园地计簿》等10件残卷。法国藏有《算书》、《九九口诀》、《算经一卷并序》、《乘法九九表》等6个残卷。俄罗斯、日本等国也有算经文献的收藏，北京图书馆也有一件《九九乘法》藏书。

       薛艳霞两次去过敦煌找寻，但都未找到相关藏书文献，只能查阅资料，“遗憾的是，这些文献的真品我没有见过，只能依靠照片和别人整理的文献资料进行研究。”

       敦煌算学文献是敦煌科技类文献中最珍贵的文献之一， 内容涉及数学、教育、哲学、物理、经济、政治、军事、文化、社会等各个领域。

       算经多是残卷，从其保存下来的内容看，包括记数、识数、进位制、度量衡制、多位数相乘、平方、加减乘除法运算、圆形、三角形等面积计算，还有民食、军需的宏观计算，军事编制和防御设施的计算等。

       “敦煌算学文献资料相对较少，较系统的研究著作也很少，因此，我选择算学作为研究方向，着重对算学文献反映的社会现实问题进行梳理，以期更深入地了解中国古代敦煌社会的现实状况。”一直热爱中国古代历史的薛艳霞从2014年就开始了自己的探索之旅。

2.算术教育 学以致用

       敦煌算学文献是中国乃至世界上最早的纸卷算书，内容广泛。文献中包含有大量算学教育中使用的教材，既有九九口诀类的初识教材，也有计算比较复杂的教材。

       敦煌出土文书中，童蒙教材中除了常用的启蒙教材《千字文》、《太公家教》、《吉凶书仪》等这些类别外，还有《九九歌诀》、《立成算经》、《算经并序》等算学文献。

       “敦煌算学教育在社会教育中也是十分重要的一部分，在蒙学教育阶段，学校或家塾已经教授相关方面的知识。”薛艳霞说，初级识字类文献中就已经开始体现基础的算学思想，体现了我国古代算学教育的重要性及其普及性。 敦煌算学文献的发现证明，中古时期地方学校不仅开设算学，还将算学置于重要地位。

       自汉代开始，敦煌社会就已经比较重视算学方面的知识，敦煌汉简中就曾发现“九九术”的残简，据敦煌算学文献反映，可能早在北朝时期敦煌的算学教育便已隶属于州县官学教育，使用的教材有《九九乘法歌》、各类《算书》等，内容丰富，有数字认读、乘法口诀、度量衡，还有一些田亩军需民用等方面的内容。

       唐代将算学正式纳入国家教育机构，使之成为一门独立学科，并设置专门学校。进一步完善了国家教育制度。

       唐五代时期敦煌地区蒙学教育尤其兴盛，在敦煌出土文书中也保存了大量的蒙学教材，如《千字文》、《太公家教》、《开蒙要训》、《蒙术》、《兔园册府》等，也有一些歌诀如《九九歌》、《儿郎伟》、《九九乘法歌诀》等。

       自古以来，中国数学教育有一大特色即“讲实际、重应用”，深受“经世致用”思想的影响。在《算经十书》中出现的一些公式或题目，涉及到政治、经济、军事等社会生活方面的一系列问题。 在研究中，薛艳霞发现，敦煌算学文献中更是如此，其所记载的一些实例算题，更加有效地证明数学注重实用的观点。“这些题目类似于现在的数学应用题，都以日常生活问题为题，比如布匹单位的换算、田亩计算、马匹食料供给、兵力分配，都充分反映了当时社会现实。”

       《五曹算经》中载：“今有田形如牛角，从五十步，口广二十步。问田几何？答曰：二亩，齐二十步。术曰：列口广二十步，半之，得十步。以从五十步乘之，得五百步。以亩法除之，即得。”还有如：“今有棉七千二百廿六斤，欲造袍。领别用棉八斤。问总合着棉得几何？曰九百三领，余两斤。”

       甚至还有记载非常详细的战事算题：“今有城周迴十八里，四面有门，门有二楼；又四角，角有一大楼，一十五小楼。廿步置一弩，卌（读xì，意为四十）步置一方梁，六十步置一石车，五步置一钩。一大楼上着卌人，一小楼着廿人，弩着三人，一方梁着八人，石车置廿人，一钩置二人，又欲一步着战士一人，问凡用兵几何？曰：一十二大楼用四百八十个，小楼用人一千二百，二百七十张弩，用人八百一十，一百卅方梁，用人一千八十人，九十个石车，用人一千八百人，一千八十枚钩，用人二千一百六十人，五千四百步，用人五千四百。”

       刘再聪教授认为，敦煌算学文献体现数学教育重实际的特点，田亩的计算以及军制模式都是时局的反映。以现代数学教育观点而论，这些注重少而精和学以致用的两大原则，教法是从实例引入，体现了我国数学教育的优良传统。

3.田亩军需 社会缩影

       自古至今，土地一直是民生之本，历朝历代对土地问题极其重视。南北朝隋唐时期，主要实行均田制。敦煌算学文献中“均田法第一”的字样显示了敦煌地区实施均田制。

       文献中涉及的田亩面积的计算题目，可以窥见当时田亩的计算方法及田亩制度中计量单位的情况，是征收赋税的依据。

       算学残卷中记载直田、圆田、四不等田、环田等各类田地面积的精确计算公式，从而印证当时社会在授田过程中出现大量不规则形状的田地，反映当时人地关系较紧张，土地划分严格，并且还存在一定的两极分化问题。

       敦煌算学文献中有很多关于田地的计算方法，在长方形田地面积计算上算学文献中出现了《田积表》，此种算表在历代文献中并未出现过，可谓绝无仅有，体现了敦煌社会田地面积计算方法上的进步。

       敦煌算学也将古代算术史进一步延伸扩展，出现了其他文献中并未出现的记载。

       在大数记法上，敦煌算学文献中万以下数字有“十百千”，万以上数字有“亿、兆、京、该、梓、让、沟、间、政、载、极”，比其他文献所记载的单位多了“极”，1极即10的96次方，这个数已相当于天文数字。

       在度量衡的记载中，敦煌算学文献记载更为详尽，单位量更多，如：”十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引。五十尺为一端，四十尺为一疋（yǎ），六尺为步。二百四十步为一亩。三百步为里。” 算学文献中也有专门记载敦煌军事编制的算学题目，涉及内容有军职官阶、军事防务、兵员设置、物资设备等。由此可见，敦煌作为军事重镇，对军队的具体编制、兵员配备、马匹管理等方面都有严格规定。通过分析，不仅能了解敦煌军事方面的基本情况，也能窥探南北朝、隋唐时期军事史的发展演变。

       薛艳霞将自己这些研究发现写成了《敦煌算学文献研究》论文。她在论文中写道：“敦煌算学文献蕴含丰富的政治、经济、军事等方面的内容，以社会现实问题为基础的算题，不仅有助于了解当时社会算学教育制度，还有助于了解当时社会民众经济生活及一些经济、军事制度。”

       刘再聪教授希望薛艳霞继续在这个方向研究下去，再下工夫。敦煌算学文献对魏晋南北朝、隋唐社会史的研究具有重要史料意义，也对补充研究中古时期敦煌的社会历史提供重要资料，很有研究价值。

来源：《兰州晨报》A13版  2017年4月6日 星期四

原文链接：敦煌算学 再现古人千年前“数字生活”

（编辑：李娜）